Một thuật toán giải phương trình cơ bản của phương pháp phần tử hữu hạn có tham số khoảng

• Create by: Administrator
• Research
• 10/01/2017

Bài báo "Một thuật toán giải phương trình cơ bản của phương pháp phần tử hữu hạn có tham số khoảng" được đăng trên tạp chí Khoa học và Công nghệ Xây dựng, số 03/2014, ISSN 1859-1566, trang 9-15.

Tóm tắt: Bài báo trình bày một thuật toán được đề xuất để giải phương trình cơ bản của phương pháp phần tử hữu hạn - mô hình chuyển vị có tham số khoảng. Thuật toán được xây dựng dựa trên các phép toán cơ bản của số học khoảng và phương pháp tối ưu khoảng. Một ví dụ số áp dụng tính kết cấu thanh có các tham số khoảng là môđun đàn hồi vật liệu, kích thước hình học và tải trọng tĩnh. Kết quả tính chuyển vị nút và lực dọc trong thanh của hệ  kết cấu là các số khoảng  được so sánh với kết quả tính theo phương pháp PTHH khoảng - mô hình EBE.

1. Đặt vấn đề

     Phương  pháp phần tử hữu hạn (PTHH) trong phân tích kết cấu  có các tham số đầu vào dưới dạng các đại lượng khoảng, bắt nguồn từ việc nghi ngờ về độ tin cậy của các mô hình xác suất, các dữ liệu đầu vào không rõ ràng, không chắc chắn. Lúc này phương phương trình cơ bản của phương pháp PTHH [k]{q}={f}, ma trận độ cứng [k] và véc tơ tải trọng {f} sẽ chứa các tham số đầu vào dưới dạng đại lượng khoảng bị chặn dưới và chặn trên nhưng không gắn với một cấu trúc xác suất nào, và kết quả chuyển vị tìm được {q}cũng dưới dạng số khoảng.

     Việc nghiên cứu và tính toán kết cấu có các yếu tố đầu vào không rõ ràng, không chắc chắn dưới dạng các đại lượng khoảng đang được quan tâm và nghiên cứu cả trong và ngoài nước. Đã có một số công trình nghiên cứu giải quyết bài toán dựa trên phương pháp PTHH khoảng –mô hình EBE áp dụng phương pháp hàm phạt, theo đó mô hình kết cấu sẽ được tách rời thành các phần tử độc lập (element by element – EBE) để tránh sự mở rộng “tự nhiên” của số học khoảng trong quá trình ghép ma trận độ cứng các phần tử, đồng thời xử lý các ràng buộc (sự tương thích chuyển vị các nút) bằng phương pháp hàm phạt. Phương pháp tính toán này đặt ra vấn đề khó khăn là việc giải quyết khối lượng công việc khá lớn do số lượng nút lớn hơn nhiều so với phương pháp PTHH thông thường và việc lựa chọn số phạt η dựa nhiều vào kinh nghiệm, dẫn đến kết quả theo phương pháp tính có sai khác đáng kể với nghiệm giải tích. Trong bài báo này, nhóm tác giả đề xuất một phương pháp khác“Phương pháp-Tối ưu khoảng” để giải phương trình cơ bản của phương pháp PTHH theo mô hình chuyển vị trong trường hợp có một số tham số đầu vào dưới dạng đại lương khoảng như mô đun đàn hồi, tải trọng tĩnh và kích thước hình học. Xuất phát từ các phép toán cơ bản của số học khoảng và phương pháp tối ưu, nhóm tác giả trình bày thuật toán và ứng dụng để giải quyết bài toán đã được trích dẫn trong các công bố trước để so sánh kết quả.

2. Phương trình cơ bản của phương pháp PTHH có tham số khoảng

     Theo nguyên lý công khả dĩ, thiết lập phương trình cơ bản của phương pháp PTHH có tham số đầu vào dưới dạng số khoảng như sau:

                                                                    [k]{q}={f}                                              (1)

      3. Phương pháp tối ưu khoảng

      Phương pháp này được thực hiện dựa trên phương pháp tối ưu kết quả đầu ra khi các thông số đầu vào chứa tham số khoảng, lúc này thay vì sử dụng công cụ số học khoảng tính toán trực tiếp để tìm khoảng kết quả đầu ra, ta thực hiện tối ưu hàm mục tiêu để tìm ra các giá trị lớn nhất (maximum) và bé nhất (minximum) với các điều kiện ràng buộc là các biến số của hàm mục tiêu bị giới hạn trong khoảng của chúng

           y_j = f_j(x₁, x₂,… x_n) à min, với điều kiện a_j ≤ x_j ≤b_j        (2)

           y_j = f_j(x₁, x₂,… x_n) à max, với điều kiện a_j ≤ x_j ≤b_j        (3)

        Giải bài toán quy hoạch (2) và (3) ta được giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của kết quả đầu ra.Ưu điểm của phương pháp này là kết quả đầu ra gần với kết quả giải tích do phương pháp không sử dụng số học khoảng khi thực hiện các phép tính nên không mắc phải việc mở rộng “tự nhiên” [3]

         Ví dụ: xét hàm số khoảng , trong đó , là  các biến số khoảng Î [-2, 5]; Î [2, 7], nếu thực hiện tuần tự các phép tính ta được như sau:

           =[-10, 25];           =[4, 49];               =[-42, 105];

Do đó [-10,25]+ [4,49] - [-42,105]+5 = [-111, 116]

Nếu thực hiện theo phương pháp tối ưu khoảng , hàm mục tiêu là :

y=f (x₁,x₂) = x₁² + x₂² -3x₁.x₂ +5 với các điều kiện ràng buộc như sau: -2≤x₁≤5 ; 2≤x₂≤7

Thực hiện bài toán tối ưu phi tuyến bằng phần mềm Mapble 13 ta được kết quả như sau:  

y_max = 100;       y_min = -26  hay nói cách khác  

Kết quả theo phương pháp tối ưu hẹp hơn so với kết quả sử dụng các phép tính số học khoảng.

4. Ứng dụng tính toán chuyển vị một số bài toán minh họa

      4.1. Kết cấu thanh thẳng một chiều (xem chi tiết trong bài báo)

      4.2. Kết cấu dàn phẳng (Xem chi tiết trong bài báo)

     5. Kết luận

Từ kết quả tính toán và so sánh với kết quả tính toán theo các phương pháp giải tích, phương pháp PTHH – mô hình EBE ở trên, cho thấy kết quả tính theo theo phương pháp “ Tối ưu khoảng”  là phù hợp, có thể áp dụng để phân tích và tính các bài toán kết cấu chịu tải trọng tĩnh cũng như chịu tải trọng động. Tuy nhiên việc tính toán xác định nghiệm đầu ra dưới dạng hàm số chứa các đại lượng đầu vào đòi hỏi bài toán phải có nghiệm đóng và số bậc tự của bài toán không quá lớn.